Taylor 展开

我们试着用多项式逼近一个非常复杂的函数。
切线往往是一次多项式。
当 \(x\) 趋近 \(x_0\) 时，我们希望构造 \(n\) 次多项式 \(T_n(x)\)，使得 \(f(x)-T_n(x)\) 在 \(x_0\) 附近是比 \((x-x_0)^n\) 更高阶的无穷小量。
我们多次利用洛必达法则，可以得到 \(n\) 次 Taylor（泰勒）多项式：
$$ T_n(x)=\sum_{k=0}^n\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k $$ 特别地，取 \(x_0=0\)，有： $$ T_n(x)=\sum_{k=0}^n\frac{f^{(k)}(0)}{k!}x^k $$ 这叫 Maclaurin（麦克劳林）多项式。

给出部分函数的 Maclaurin 展开

$ e^x=1+x+\frac12x^2+\frac16x^3+\frac1{24}x^4+\cdots $

$ \sin x=x-\frac16x^3+\frac1{120}x^5-\cdots $

$ \cos x=1-\frac12x^2+\frac1{24}x^4-\frac1{720}x^6+\cdots $

$ \frac1{1-x}=1+x+x^2+x^3+x^4+\cdots $，要求 $x\lt1 $

$ \ln(1+x)=x-\frac{x^2}2+\frac{x^3}3-\frac{x^4}4+\cdots $

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带有 Peano 余项的 Taylor 展开： $$ f(x)=\sum_{k=0}^n\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k+o((x-x_0)^k) $$

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带有 Lagrange 余项的 Taylor 展开： $$ f(x)=\sum_{k=0}^n\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k+\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1} $$
其中 \(\xi\) 介于 \(x\) 和 \(x_0\) 之间。存在性证明会用到 Lagrange 中值定理。