简介

这里是数学分析 B1 部分学习笔记。
建议先阅读高中数学部分再来看。

写在前面的

符号约定

约定 \(\lfloor x\rfloor\) 和 \([x]\) 为 \(x\) 下取整。 约定上确界是最小的上界，下确界是最大的下界。

简单结论

实数域具有完备性（这是公理）：设 \(X\) 和 \(Y\) 是 \(\mathbb R\) 的两个子集，满足对任何 \(x\in X,\,y\in Y\) 都有 \(x\le y\)，那么存在 \(c\in \mathbb R\)，使得对任意 \(x\in X,\,y\in Y\)，有 \(x\le c\le y\)。
注：有理数域没有完备性。一个反例：取 \(X=\{u|u^2<2,u>0,u\in \mathbb Q\}\)，\(Y=\{u|u^2>2,u>0,u\in \mathbb Q\}\)。

实数域具有稠密性：任何两个数 \(x<y\) 之间一定有一个有理数。
证明不难，读者自证。