未定式极限

这里主要讨论 \(\frac{\infty}{\infty}\) 和 \(\frac{0}{0}\) 型未定式的极限。
这就是洛必达法则。

\(\frac{0}{0}\) 型未定式极限

设 \(f(x),g(x)\) 在 \(x_0\) 处都趋于 \(0\)，且在 \(x_0\) 附近可导，\(g'(x)\ne0\)，求证：如果 \(\lim_{x\rightarrow x_0}\frac{f'(x)}{g'(x)}=l\)，则 \(\lim_{x\rightarrow x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=l\) 可以是有限实数，也可以是 \(\infty\)。

证明

考虑补充定义 \(f(x_0)=g(x_0)=0\)，使得 \(f(x)\) 和 \(g(x)\) 在 \(x_0\) 处连续。
不妨设 \(x>x_0\) 且趋近 \(x_0\)。 由 Cauchy 中值定理，存在 \(k\in(x_0,x)\)，使得 \(\large\frac{f(x)-f(x_0)}{g(x)-g(x_0)}=\frac{f'(k)}{g'(k)}\)，而 \(x\rightarrow x_0\) 时 \(k\rightarrow x_0\)，故： $$ \lim_{x\rightarrow x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{g(x)-g(x_0)}=\lim_{k\rightarrow x_0}\frac{f'(k)}{g'(k)}=l $$

如果 \(x_0\rightarrow\infty\) 怎么办

令 \(y=\frac1{x_0}\)，则 \(y\rightarrow0\)，后根据上面结论不难得到。

\(\frac{\infty}{\infty}\) 型未定式极限

设 \(f(x)\) 和 \(g(x)\) 在 \(x_0\) 附近可导，且 \(\lim_{x\rightarrow x_0}g(x)=\infty\)，如果 \(\lim_{x\rightarrow x_0}\frac{f'(x)}{g'(x)}=l\) 那么 \(\lim_{x\rightarrow x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=l\)。

证明

只证明 \(l\in \mathbb R\) 的情形，\(l=\infty\) 的情形只需交换 \(f(x)\) 和 \(g(x)\)，再令 \(l=0\) 即可。

由极限定义可知，对任意的 \(\varepsilon>0\)，存在 \(k_1>0\)，使得 \(\forall\,x\in(x_0,x_0+k_1)\)，\(l-\varepsilon\lt \frac{f'(x)}{g'(x)}\lt l+\varepsilon\)。
由 Cauchy 中值定理，取 \([x,c]\subseteq (x_0,x_0+k_1)\)，存在 \(\xi\in(x,c)\)，满足 \(\large\frac{f(x)-f(c)}{g(x)-g(c)}=\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}\)，故有 \(l-\varepsilon\lt\frac{f(x)-f(c)}{g(x)-g(c)}\lt l+\varepsilon\)。
由于 \(\lim_{x\rightarrow x_0} g(x)=\infty\)，固定 \(c\)，存在 \(k_2>0\)，使得当 \(x\in(x_0,x_0+k_2)\) 时，有 \(|\frac{g(c)}{g(x)}|\lt\varepsilon\)，\(|\frac{f(c)}{g(x)}|\lt\varepsilon\)，取 \(k=min\{k_1,k_2\}\)，于是，当 \(x\in(x_0,x_0+k)\) 时，有：
$$ \frac{f(x)}{g(x)}=\frac{f(x)-f(c)}{g(x)-g(c)}-\frac{g(c)}{g(x)}\cdot\frac{f(x)-f(c)}{g(x)-g(c)}+\frac{f(c)}{g(x)} $$ 因此， $$ l+\varepsilon+(|l|+\varepsilon)\varepsilon+\varepsilon>\frac{f(x)}{g(x)}>l-\varepsilon-(|l|+\varepsilon)\varepsilon-\varepsilon $$ 由极限定义即得。

如果 \(x_0\rightarrow\infty\) 怎么办

令 \(y=\frac1{x_0}\)，则 \(y\rightarrow0\)，后根据上面结论不难得到。