分部积分法

所谓分部积分，就是根据微分公式 \([f(x)g(x)]'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)\) 得出来的。
核心公式是 \(\int u(x)\mathrm dv(x)=u(x)v(x)-\int v(x)\mathrm du(x)\)。
以下最终答案均省略 \(+C\)。
例 1：计算 $\int x\sin x \mathrm dx $。

解

\[ \int x\sin x\mathrm dx=-\int x\mathrm d(\cos x)=-(x\cos x-\int \cos x\mathrm dx)=\sin x-x\cos x \]

例 2：计算 \(\int \cos(\ln x)\mathrm dx\)。

解

先换元，令 \(t=\ln x\)，原式为 \(\int e^t\cos t\mathrm dt\)。
然后做 2 次分部积分。
\(\int e^t\cos t\mathrm dt+\int e^t\sin t\mathrm dt=e^t\sin t\)
\(\int e^t\cos t\mathrm dt-\int e^t\sin t\mathrm dt=e^t\cos t\)
因此 \(\int e^t\cos t\mathrm dt=\frac12e^t(\sin t+\cos t)\)。
代回去，原式为 \(\frac12x[\cos(\ln x)+\sin(\ln x)]\)。