连续性

定义

称 \(f(x)\) 在 \(x_0\) 处连续，当且仅当 \(f(x)\) 在 \(x_0\) 的一个邻域内有定义且 \(f(x_0)=\lim_{d\rightarrow0}f(x_0+d)\)。

结论：初等函数在其定义区间上都是连续函数。

间断点的分类：

• 可去间断点：\(f(x_0+0)=f(x_0-0)\neq f(x_0)\)。
• 跳跃点：\(f(x_0+0)\neq f(x_0-0)\)。
• 第二类间断点：\(f(x_0+0)\) 和 \(f(x_0-0)\) 至少有一个不存在。

其中可去间断点和跳跃点统称为第一类间断点。

零点定理：f(x) 在 \([u,v]\) 上连续，且 \(f(u)f(v)\le0\)，则 \(f(x)=0\) 在 \([u,v]\) 上有根。