极限

数列极限

定义

如果某个无穷数列 $\{a_n\}$ 满足：存在实数 $w$，对任意 $\varepsilon >0$，存在正整数 $N$ 使得当 $n\ge N$ 时，$|a_n-w|<\varepsilon$ 恒成立，那么我们称数列 $\{a_n\}$ 是收敛数列，极限为 $w$，记作 $\lim a_n=w$。
如果不存在上述的实数 $w$，我们称数列 $\{a_n\}$ 是发散数列，发散数列没有极限。

特别的，如果无穷数列 $\{a_n\}$ 满足：对任意 $M\in\mathbb R$，存在正整数 $N$ 使得当 $n\ge N$ 时，$|a_n|>M$ 恒成立，那么我们称数列 $\{a_n\}$ 是发散到无穷大的数列。
如果无穷数列 $\{a_n\}$ 满足：对任意 $M\in\mathbb R$，存在正整数 $N$ 使得当 $n\ge N$ 时，$a_n>M$ 恒成立，那么我们称数列 $\{a_n\}$ 是发散到正无穷大的数列。
如果无穷数列 $\{a_n\}$ 满足：对任意 $M\in\mathbb R$，存在正整数 $N$ 使得当 $n\ge N$ 时，$a_n\lt M$ 恒成立，那么我们称数列 $\{a_n\}$ 是发散到负无穷大的数列。

举例说明

证明：$\lim \frac1n=0$。

证明

只需证：对任意 $\varepsilon >0$，存在正整数 $N$ 使得当 $n\ge N$ 时，$|a_n|<\varepsilon$ 恒成立。
我们取 $N=\lfloor \frac1\varepsilon\rfloor+1$ 即可，后略。

证明：数列 $a_n=1+\frac12+\frac13+\cdots+\frac1n$ 发散到正无穷大。

证明

显然 $a_n$ 递增，发现： $$ a_{2^k}\ge 1+\frac12+\frac14+\frac14+4\times\frac18+\cdots+2^{k-1}\times\frac1{2^k}=1+\frac k2 $$
那么，对于任意的 $M\in\mathbb R$，取最小的正整数 $K>M$，取 $N=2^{2(K-1)}$ 即可。

收敛数列性质

对于收敛数列 $\{a_n\}$，其极限唯一。
改变收敛数列 $\{a_n\}$ 中有限项的值，极限不变。
收敛数列一定有界。
若 $\lim a_n=w$，则对任意 $d<w$，当 $n$ 充分大时 $a_n>d$ 恒成立。
收敛数列之间加减乘除，对应的极限也加减乘除（除法要小心除数极限为零的情形）。
如果 $\{a_n\}$ 极限为 $w$，则 $\{a_n\}$ 的任意子列极限为 $w$。

习题

例 1：设 $a_n=(1+\frac1n)^n$，证明 $\{a_n\}$ 递增且收敛。

证明

先证明 $\{a_n\}$ 递增，由二项式定理，有： $$ a_n=1+\sum_{i=1}^n\frac{\mathrm C_n^k}{n^i}=1+\sum_{i=1}^n\frac1{i!}\frac{n}n\frac{n-1}n\cdots\frac{n-i+1}n=2+\sum_{i=2}^n\frac1{i!}(1-\frac1n)(1-\frac2n)\cdots(1-\frac{k-1}n) $$
$$ a_{n+1}=2+(\frac1{n+1})^{n+1}+\sum_{i=2}^{n}\frac1{i!}(1-\frac1{n+1})(1-\frac2{n+1})\cdots(1-\frac{k-1}{n+1}) $$
对比 $a_n$ 和 $a_{n+1}$，发现 $a_{n+1}$ 多出一项 $(\frac1{n+1})^{n+1}$，且求和号中 $a_{n+1}$ 中每一项都大于 $a_n$。
所以 $\{a_n\}$ 递增。

再证明 $\{a_n\}$ 有上界，事实上，$\frac{n}n\frac{n-1}n\cdots\frac{n-i+1}n\le1$ 所以有： $$ a_n=1+\sum_{i=1}^n\frac1{i!}\frac{n}n\frac{n-1}n\cdots\frac{n-i+1}n\le1+\sum_{i=1}^n\frac1{i!}=2+\sum_{i=2}^n\frac1{i!}\le2+\sum_{i=2}^n\frac1{i(i-1)}\lt3 $$
故有上界。
根据上述定理，$\{a_n\}$ 递增且收敛。

这个极限是 $e\approx2.178281828$，是自然对数 $\ln$ 的底数。

常见伪证一则

注意到 $f(x)=x\ln\frac{x+1}{x}=x\ln(x+1)-x\ln x$，有 $f'(x)=\ln(x+1)-\ln x-\frac1{x+1}=(-\frac1{x+1})-\ln[1-(-\frac1{x+1})]>0$，故 $f(x)$ 单调增，$a_n=e^{f(n)}$ 单调增。

设 $b_n=(1+\frac1n)^{n+1}$，类似可证 $b_n$ 单调减，而且显然 $\lim (b_n-a_n)=0$，由区间套定理知 $a_n$ 收敛。

错误原因

先有 $e$ 的定义才有自然对数 $\ln$，以及其导数，我们不能用后面的结论反过来证明前面的问题。

不过，现在有的教材用积分定义对数 $\ln t=\int_1^t\frac1x\mathrm dx$，这样定义出 $e$，那么这就不算伪证了。

函数极限

定义

正负无穷出的定义类似数列极限，从略。这里补一下在 $x_0$ 处的定义：
设 $f(x)$ 在 $x_0$ 附近有定义，若对任意 $\varepsilon>0$，存在 $d>0$ 使得当 $0\lt|x-x_0|\lt d$ 时 $|f(x)-A|<\varepsilon$，则 $f(x)$ 在 $x_0$ 处收敛于 $A$，也叫极限为 $A$，记作 $\lim_{x\rightarrow x_0}f(x)=A$。

性质

与数列极限类似，从略。
有一个比较重要的定理：如果 $f(x)\lt g(x)\lt h(x)$ 恒成立，且 $\lim_{x\rightarrow r}f(x)=\lim_{x\rightarrow r}h(x)=K$，则 $\lim_{x\rightarrow r}g(x)=K$，这里 $r$ 可以是实数，也可以是正负无穷。

极限

数列极限

定义

收敛数列性质

相关定理

习题

函数极限

定义

性质